Türschloss im Bad reparieren - Metallfräse?

Hallo alle miteinander,
nach erstem Fehlversuch muss ich nun doch eine Frage an euch stellen und hoffe auf eine Lösung meines kleinen Türproblems.
In meiner Mietwohnung schließt die Badezimmertür nicht und der Vermieter kümmert sich nicht darum. Nun bin ich es leid und möchte das selbst beheben, da besonders bei Gästen eine nicht schließbare Badtür schlecht ist.

Die Probleme sind:
1. Es ist eine sehr alte Tür (Altbau). Der Teil des Türschlosses, der im Türrahmen ist, wurde fest verschraubt, das mit nicht mehr drehbaren abgewetzten Schlitzschrauben und mehrfach überlackiert. Das Teil bekomme ich daher nicht aus der Tür.
2. Zum Schloss in der Tür gab es keinen Schlüssel mehr, so dass man nicht abschließen kann.
3. Der Türrahmen ist gerade, jedoch ist das Türblatt etwas gebogen. Die tür schließt im Badinneren. Man muss sie beim schließen stark gegen den Türrahmen drücken, um sie zunächst mit der Türklinke schließen zu können.

Da also kein Schlüssel mehr da war, habe ich in einem Metallfachhandel ein neues Schloss für die Tür gekauft und das eingebaut. Es passt auch, jedoch gibt es nun ein weiteres Problem.
Mit Kraft bekommt man die Tür von innen drückend zu, also mit der Türklinke. Aber dann lässt sich die Tür nicht abschließen, da der Riegel nicht in das entsprechende Loch im Türrahmen will. Das Türblatt ist wohl so schief, dass der Riegel kaum rein geht. Es funktioniert nur mit sehr viel Kraft. Die Spannung ist dann so groß, dass man auch beim öffnen wieder sehr stark gegen drücken muss. Wenn nun ein Gast das nicht weiß oder nicht so viel Kraft hat, ist er/sie gefangen...

Daher müsste ich jetzt wohl versuchen, das Loch für die Riegel etwas größer zu machen. Aber wie? Es ist Metall und wie gesagt, bekomme ich es auch nicht aus dem Türrahmen. Ich müsste es also im Türrahmen bleibend bearbeiten.

Ich habe im internet Hartmetallfräsen gesehen, die man scheinbar in ein Gerät einspannen kann. Spannt man die normalerweise in Bohrmaschinen ein? Oder in einen Dremel? Ich habe nur eine Bohrmaschine.
Oder was würdet ihr sonst empfehlen? Bin etwas ratlos.